Número forte

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O conjunto 3-1 tem três rotações / inversões possíveis, a forma normal das quais é o menor bolo ou a forma mais compacta

Na teoria dos conjuntos, um número Forte é o par de números que Allen Forte atribuiu à forma primária de cada conjunto de classes de notas de três ou mais membros em The Structure of Atonal Music (1973, ISBN 0-300-02120 -8 ). O primeiro número indica o número de classes de altura no conjunto de classes de altura e o segundo número indica a posição da sequência do conjunto na ordem de Forte de todos os conjuntos de classes de altura que contêm o mesmo número de alturas. [1] [2]

Acordes maiores e menores em dó
Tríade principal em C ( arquivo de informação )
Acorde menor em C ( arquivo de informação )

História

No sistema de afinação 12-TET (ou qualquer outro sistema de afinação que divide a oitava em doze semitons ), cada classe de tons pode ser indicada por um número inteiro de 0 a 11 (inclusive) e um conjunto de classes de tons. Os tons podem ser indicados por um conjunto desses inteiros. A forma primária de um conjunto de classes de tons é a mais compacta (isto é, compacta para a esquerda ou a menor na ordem lexicográfica ) do que a forma normal de um conjunto ou sua inversão . A forma normal de um conjunto é aquela que se transpõe para ser a mais compacta. Por exemplo, um acorde maior na segunda inversão contém as classes tonais 7, 0 e 4. A forma normal seria, portanto, 0, 4 e 7. Sua inversão (transposta pela inversão dos intervalos na direção oposta) acaba sendo o acorde menor que contém as classes de tonalidade 0, 3 e 7; e é a forma primária. Os acordes maiores e menores têm o número de Forte 3-11, indicando que é o décimo primeiro na ordem de classificação de Forte do conjunto de classes de notas de três tons. Em contraste com o tricórdio vienense , com as classes de entonação 0,1 e 6, o número de Forte 3-5 é atribuído, indicando que é o quinto na classificação do Forte do conjunto de classes de entoação com três tons.

A forma normal da escala diatônica , como a de dó maior , 0, 2, 4, 5, 7, 9 e 11, é 11, 0, 2, 4, 5, 7 e 9, correspondendo ao modo locri e portanto, sua forma primária é 0, 1, 3, 5, 6, 8 e 10; seu número de Forte é 7-35, o que indica que é o trigésimo quinto conjunto de classes de notas de sete membros.

Séries de pitch compartilhando o mesmo número de Forte têm vetores de intervalo idênticos. Aqueles que têm números de Forte diferentes têm vetores de intervalo diferentes, com exceção dos conjuntos relativos az (por exemplo, 6-Z44 e 6-Z19).

Cálculo

Existem três métodos predominantes para calcular a forma primária. O primeiro foi descrito por Forte e o segundo foi introduzido na Teoria Atonal Básica de John Rahn e usado na Introdução à Teoria Pós-tonal (Introdução à teoria pós-tonal) de Joseph N. Straus. O artigo, Lista de conjuntos de classes de notas (Listar o conjunto de classes de notas), parece usar o ' algoritmo Rahn. Por exemplo, o número primário de Forte para 6-31 é {0,1,3,5,8,9} enquanto o algoritmo de Rahn escolhe {0,1,4,5,7,9}.

Na linguagem da combinatória, os números de Forte correspondem a braceletes binários de comprimento 12 [3] : isto é, classes de equivalência de sequências binárias de comprimento 12 sob as operações de permutação e inversão cíclicas. Nessa correspondência, um em uma seqüência binária corresponde a um tom presente em um conjunto de classes de tons e um zero em uma seqüência binária corresponde a um tom ausente. A rotação das sequências binárias corresponde à transposição dos acordes e a inversão das sequências binárias corresponde à inversão dos acordes. A forma mais compacta de um conjunto de classes de tonalidade é a sequência lexicograficamente máxima dentro da classe de sequência de equivalência correspondente.

Anteriormente, Elliott Carter (1960-1967) havia produzido uma lista numerada de conjuntos de classes de notas, ou "acordes", como Carter os chamava, para uso pessoal. [4] [5]

Número forte

Formas primárias e vetores de intervalo dos conjuntos de classes de altura. A seguir está a tabela de todos os conjuntos de classes de notas, nas doze aparelhagens, conforme a Forte os catalogou. [6] Os conjuntos complementares são encontrados alinhados na mesma linha.

Primeiro nome Classes de altura Vetor de intervalo Primeiro nome Classes de altura Vetor de intervalo
3-1 (12) 0,1,2 210000 9-1 0,1,2,3,4,5,6,7,8 876663
3-2 0,1,3 111000 9-2 0,1,2,3,4,5,6,7,9 777663
3-3 0,1,4 101100 9-3 0,1,2,3,4,5,6,8,9 767763
3-4 0.1.5 100110 9-4 0,1,2,3,4,5,7,8,9 766773
3-5 0,1,6 100011 9-5 0,1,2,3,4,6,7,8,9 766674
3-6 (12) 0.2.4 020100 9-6 0,1,2,3,4,5,6,8,10 686763
3-7 0.2.5 011010 9-7 0,1,2,3,4,5,7,8,10 677673
3-8 0.2.6 010101 9-8 0,1,2,3,4,6,7,8,10 676764
3-9 (12) 0.2.7 010020 9-9 0,1,2,3,5,6,7,8,10 676683
3-10 (12) 0.3.6 002001 9 a 10 0,1,2,3,4,6,7,9,10 668664
3-11 0.3.7 001110 9-11 0,1,2,3,5,6,7,9,10 667773
3-12 (4) 0.4.8 000300 9-12 0,1,2,4,5,6,8,9,10 666963
4-1 (12) 0,1,2,3 321000 8-1 0,1,2,3,4,5,6,7 765442
4-2 0,1,2,4 221100 8-2 0,1,2,3,4,5,6,8 665542
4-3 (12) 0,1,3,4 212100 8-3 0,1,2,3,4,5,6,9 656542
4-4 0,1,2,5 211110 8-4 0,1,2,3,4,5,7,8 655552
4-5 0,1,2,6 210111 8-5 0,1,2,3,4,6,7,8 654553
4-6 (12) 0,1,2,7 210021 8-6 0,1,2,3,5,6,7,8 654463
4-7 (12) 0,1,4,5 201210 8-7 0,1,2,3,4,5,8,9 645652
4-8 (12) 0,1,5,6 200121 8-8 0,1,2,3,4,7,8,9 644563
4-9 (6) 0,1,6,7 200022 8-9 0,1,2,3,6,7,8,9 644464
4-10 (12) 0.2.3.5 122010 8-10 0,2,3,4,5,6,7,9 566452
4-11 0,1,3,5 121110 8-11 0,1,2,3,4,5,7,9 565552
4-12 0,2,3,6 112101 8-12 0,1,3,4,5,6,7,9 556543
4-13 0,1,3,6 112011 8-13 0,1,2,3,4,6,7,9 556453
4-14 0,2,3,7 111120 8-14 0,1,2,4,5,6,7,9 555562
4-Z15 0,1,4,6 111111 8-Z15 0,1,2,3,4,6,8,9 555553
4-16 0,1,5,7 110121 8-16 0,1,2,3,5,7,8,9 554563
4-17 (12) 0,3,4,7 102210 8-17 0,1,3,4,5,6,8,9 546652
4-18 0,1,4,7 102111 8-18 0,1,2,3,5,6,8,9 546553
4-19 0,1,4,8 101310 8-19 0,1,2,4,5,6,8,9 545752
4-20 (12) 0,1,5,8 101220 8-20 0,1,2,4,5,7,8,9 545662
4-21 (12) 0,2,4,6 030201 21/08 0,1,2,3,4,6,8,10 474643
4-22 0,2,4,7 021120 22/08 0,1,2,3,5,6,8,10 465562
4-23 (12) 0.2.5.7 021030 23/08 0,1,2,3,5,7,8,10 465472
4-24 (12) 0,2,4,8 020301 24/08 0,1,2,4,5,6,8,10 464743
4-25 (6) 0,2,6,8 020202 8-25 0,1,2,4,6,7,8,10 464644
4-26 (12) 0.3.5.8 012120 26/08 0,1,2,4,5,7,9,10 456562
4-27 0.2.5.8 012111 8-27 0,1,2,4,5,7,8,10 456553
4-28 (3) 0,3,6,9 004002 28/08 0,1,3,4,6,7,9,10 448444
4-Z29 0,1,3,7 111111 8-Z29 0,1,2,3,5,6,7,9 555553
5-1 (12) 0,1,2,3,4 432100 7-1 0,1,2,3,4,5,6 654321
5-2 0,1,2,3,5 332110 7-2 0,1,2,3,4,5,7 554331
5-3 0,1,2,4,5 322210 7-3 0,1,2,3,4,5,8 544431
5-4 0,1,2,3,6 322111 7-4 0,1,2,3,4,6,7 544332
5-5 0,1,2,3,7 321121 7-5 0,1,2,3,5,6,7 543342
5-6 0,1,2,5,6 311221 7-6 0,1,2,3,4,7,8 533442
5-7 0,1,2,6,7 310132 7-7 0,1,2,3,6,7,8 532353
5-8 (12) 0,2,3,4,6 232201 7-8 0,2,3,4,5,6,8 454422
5-9 0,1,2,4,6 231211 7-9 0,1,2,3,4,6,8 453432
5-10 0,1,3,4,6 223111 7 a 10 0,1,2,3,4,6,9 445332
5-11 0,2,3,4,7 222220 7-11 0,1,3,4,5,6,8 444441
5-Z12 (12) 0,1,3,5,6 222121 7-Z12 0,1,2,3,4,7,9 444342
5-13 0,1,2,4,8 221311 7-13 0,1,2,4,5,6,8 443532
5-14 0,1,2,5,7 221131 7-14 0,1,2,3,5,7,8 443352
5-15 (12) 0,1,2,6,8 220222 7-15 0,1,2,4,6,7,8 442443
5-16 0,1,3,4,7 213211 7-16 0,1,2,3,5,6,9 435432
5-Z17 (12) 0,1,3,4,8 212320 7-Z17 0,1,2,4,5,6,9 434541
5-Z18 0,1,4,5,7 212221 7-Z18 0,1,2,3,5,8,9 434442
5-19 0,1,3,6,7 212122 7-19 0,1,2,3,6,7,9 434343
5-20 0,1,3,7,8 211231 7-20 0,1,2,4,7,8,9 433452
5-21 0,1,4,5,8 202420 7-21 0,1,2,4,5,8,9 424641
5-22 (12) 0,1,4,7,8 202321 7-22 0,1,2,5,6,8,9 424542
5-23 0,2,3,5,7 132130 7-23 0,2,3,4,5,7,9 354351
5-24 0,1,3,5,7 131221 7-24 0,1,2,3,5,7,9 353442
5-25 0,2,3,5,8 123121 7-25 0,2,3,4,6,7,9 345342
5-26 0,2,4,5,8 122311 7-26 0,1,3,4,5,7,9 344532
5-27 0,1,3,5,8 122230 7-27 0,1,2,4,5,7,9 344451
5-28 0,2,3,6,8 122212 7-28 0,1,3,5,6,7,9 344433
5-29 0,1,3,6,8 122131 7-29 0,1,2,4,6,7,9 344352
5-30 0,1,4,6,8 121321 7-30 0,1,2,4,6,8,9 343542
5-31 0,1,3,6,9 114112 7-31 0,1,3,4,6,7,9 336333
5-32 0,1,4,6,9 113221 7-32 0,1,3,4,6,8,9 335442
5-33 (12) 0,2,4,6,8 040402 7-33 0,1,2,4,6,8,10 262623
5-34 (12) 0,2,4,6,9 032221 7-34 0,1,3,4,6,8,10 254442
5-35 (12) 0,2,4,7,9 032140 7-35 0,1,3,5,6,8,10 254361
5-Z36 0,1,2,4,7 222121 7-Z36 0,1,2,3,5,6,8 444342
5-Z37 (12) 0,3,4,5,8 212320 7-Z37 0,1,3,4,5,7,8 434541
5-Z38 0,1,2,5,8 212221 7-Z38 0,1,2,4,5,7,8 434442
6-1 (12) 0,1,2,3,4,5 543210
6-2 0,1,2,3,4,6 443211
6-Z3 0,1,2,3,5,6 433221 6-Z36 0,1,2,3,4,7
6-Z4 (12) 0,1,2,4,5,6 432321 6-Z37 (12) 0,1,2,3,4,8
6-5 0,1,2,3,6,7 422232
6-Z6 (12) 0,1,2,5,6,7 421242 6-Z38 (12) 0,1,2,3,7,8
6-7 (6) 0,1,2,6,7,8 420243
6-8 (12) 0,2,3,4,5,7 343230
6-9 0,1,2,3,5,7 342231
6-Z10 0,1,3,4,5,7 333321 6-Z39 0,2,3,4,5,8
6-Z11 0,1,2,4,5,7 333231 6-Z40 0,1,2,3,5,8
6-Z12 0,1,2,4,6,7 332232 6-Z41 0,1,2,3,6,8
6-Z13 (12) 0,1,3,4,6,7 324222 6-Z42 (12) 0,1,2,3,6,9
6-14 0,1,3,4,5,8 323430
6 a 15 0,1,2,4,5,8 323421
6-16 0,1,4,5,6,8 322431
6-Z17 0,1,2,4,7,8 322332 6-Z43 0,1,2,5,6,8
6-18 0,1,2,5,7,8 322242
6-Z19 0,1,3,4,7,8 313431 6-Z44 0,1,2,5,6,9
6-20 (4) 0,1,4,5,8,9 303630
6-21 0,2,3,4,6,8 242412
6-22 0,1,2,4,6,8 241422
6-Z23 (12) 0,2,3,5,6,8 234222 6-Z45 (12) 0,2,3,4,6,9
6-Z24 0,1,3,4,6,8 233331 6-Z46 0,1,2,4,6,9
6-Z25 0,1,3,5,6,8 233241 6-Z47 0,1,2,4,7,9
6-Z26 (12) 0,1,3,5,7,8 232341 6-Z48 (12) 0,1,2,5,7,9
6-27 0,1,3,4,6,9 225222
6-Z28 (12) 0,1,3,5,6,9 224327 6-Z49 (12) 0,1,3,4,7,9
6-Z29 (12) 0,1,3,6,8,9 224232 6-Z50 (12) 0,1,4,6,7,9
6-30 (12) 0,1,3,6,7,9 224223
6-31 0,1,3,5,8,9 223431
6-32 (12) 0,2,4,5,7,9 143250
6-33 0,2,3,5,7,9 143241
6-34 0,1,3,5,7,9 142422
6-35 (2) 0,2,4,6,8,10 060603

Observação

  1. ^ Friedmann, Michael L. (1990). Treinamento auditivo para a música do século XX , p.46. ISBN 9780300045376 . "O 'número forte' para uma classe de conjunto é composto de dois dígitos separados por um hífen. O primeiro inteiro especifica o número de classes de notas diferentes na classe de conjunto, o segundo a posição da classe de conjunto na lista de Forte."
  2. ^ Tsao, Ming (2007). Abstract Musical Intervals: Group Theory for Composition and Analysis , p.98. ISBN 9781430308355 . Um número forte, "consiste em dois números separados por um hífen .... O primeiro número é a cardinalidade da forma definida ... e o segundo número refere-se à posição ordinal ..."
  3. ^ Colares e pulseiras combinatórias , em jasondavies.com .
  4. ^ Schiff, David (1983/1998). A música de Elliott Carter .
  5. ^ Carter, Elliott (2002). O Livro da Harmonia , "Apêndice 1". ISBN 9780825845949 .
  6. ^ Allen Forte, Apêndice I , em The Structure of Atonal Music , Yale University Press, 1977.

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